SMS For imaging systems using free-forms.
Tesis Doctoral
Autor: Milena Nikolić
Director: Pablo Benítez Giménez
El diseño de sistemas ópticos de formación de imagen goza de una historia larga e ilustre. Desde los primeros magnificadores ópticos del antiguo Egipto, pasando por los telescopios de Galileo y Newton al comienzo de la ciencia moderna, hasta la ubicuidad de la óptica actual, el proceso de diseño óptico se ha considerado tanto un arte como una ciencia. El diseño óptico ha evolucionado desde la teoría de óptica paraxial de la época de Newton hasta los modernos diseños realizados mediante la utilización de diferentes técnicas de optimización multiparamétrica. Aunque los métodos mencionados pueden proporcionar soluciones elegantes para muchos de los problemas tradicionales, la creciente demanda de novedosos sistemas ópticos con superficies no-esféricas y geometrías fuera de eje hace que los problemas de diseño ya no puedan resolverse fácilmente utilizando esos métodos tradicionales. Con el desarrollo acelerado de las nuevas técnicas de fabricación se ha llegado a la omnipresencia de las superficies asféricas en los diseños ópticos actuales. Sin embargo, la creciente complejidad de los problemas ópticos relacionados con la formación de imagen hace que hagan falta incluso más grados de libertad que los que propone la óptica asférica. Esos grados de libertad se pueden lograr, bien incrementando el número de superficies del sistema, lo cual a menudo lleva a una solución voluminosa no apropiada para muchas aplicaciones, o abandonando la simetría de revolución del sistema, lo cual permite la introducción de nuevas formas de superficies sin simetría de revolución, conocidas como superficies anamórficas (“freeform”). Las superficies anamórficas aparecieron por primera vez en los diseños de óptica anidólica (“nonimaging”), donde el objetivo no es la formación de imagen, sino la transferencia eficiente de la luz. Dado que los sistemas anidólicos no son igual de sensibles a errores de fabricación como los de formación de imagen, muchos de los diseños ópticos basados en superficies anamórficas se han convertido en productos comerciales. De esa forma se ha hecho evidente el potencial de este tipo de superficies para proporcionar soluciones altamente compactas. En las técnicas de optimización multiparamétrica, que suponen un elevado número de parámetros libres, el sistema inicial de partida es la clave para encontrar la solución óptima. En sistemas ópticos tradicionales como, por ejemplo, el objetivo de una cámara, existe una literatura inmensa que incluye muchas patentes y catálogos que pueden proporcionar el sistema inicial de partida. Sin embargo, en el caso de nuevos sistemas como los de realidad virtual (o aumentada), conocidos como sistemas HMD (del inglés “head-mounted-display”), no existe mucha literatura que permita proporcionar sistemas de partida. Para tales sistemas, los métodos directos representan una útil herramienta, especialmente en diseños que incluyen un elevado número de parámetros que especifican la superficie. Cuanto más alto sea el número de parámetros, más difícil será encontrar una solución utilizando los métodos basados en la optimización multiparamétrica, por lo que la elección del sistema de partida en esos casos resulta ser clave. El método de Superficies Múltiples Simultaneas (SMS), que nació como una herramienta de cálculo para aplicaciones anidólicas, es un método directo de diseño tanto de superficies asféricas como anamórficas. Recientemente se ha demostrado además como una herramienta para el diseño de sistemas ópticos de formación de imagen, y puede utilizarse para generar los sistemas de partida necesarios para la optimización multiparamétrica. Esta tesis doctoral investiga nuevas estrategias de diseño de sistemas de superficies noesféricas. Consta de 2 partes y 7 capítulos. Los conceptos básicos de la óptica geométrica se introducen concisamente en el primer capítulo. Los capítulos 3-7 se agrupan en 2 partes: la óptica asférica (capítulos 3 y 4) y la óptica anamórfica (capítulos 5-7). El capítulo 2 está relacionado con ambas partes de la tesis, ya que proporciona una nueva percepción del método SMS en general. En el capítulo 2 se presenta un nuevo desarrollo del método SMS que cambia la forma en la que el método ha sido considerado hasta ahora. Se demuestra que para ciertos casos específicos de diseño con la apertura alejada de las superficies se pueden crear imágenes estigmáticas de múltiples puntos de objeto utilizando un menor número de superficies. Avanzando paso a paso desde las bases del método, pasamos a la formación de imagen de dos puntos objeto a través de una única superficie. Posteriormente, aumentando de dos a tres puntos objeto incrementando el paralelismo, llegamos a un diseño de seis superficies cumpliendo una formación de imagen estigmática para ocho puntos objeto. Se presenta un criterio aproximado que proporciona una estimación del número de puntos objeto que se pueden enfocar en el plano imagen (estigmáticamente), que utiliza para ello el tamaño de la apertura del sistema y de las superficies. En el proceso de maximización de ese número se intentan agotar los grados de libertad de las superficies asféricas y anamórficas. Al final se deduce que los diseños SMS con los grados de libertad agotados están muy cerca de la solución óptima, por tanto usarlos como puntos de partida para la optimización resultaría en una convergencia rápida hacia el sistema óptimo. El capítulo 3 presenta un estudio del método SMS2D como el punto de partida para un problema de diseño de dos lentes asféricas. Se analizan dos ejemplos de diseño en los cuales se compara el método SMS (con la optimización posterior) y las técnicas tradicionales, tanto como la optimización global. Los métodos de diseño tradicionales utilizan un punto de partida esférico con la optimización de un paso único, de dos pasos y el método paso-a-paso, conocido como “stepwise”, mientras el sistema SMS se optimiza con un único paso. Se demuestra que, dado que el método SMS aporta un punto de partida superior, la optimización con un único paso resulta ser suficiente para llegar a un diseño óptimo. El capítulo 4 introduce un concepto novedoso en el diseño de óptica de formación de imagen conocido como “foveated imaging”. Foveated imaging o formación de imagen adaptada es un método que emula el comportamiento del ojo humano mediante la generación de imágenes con resolución espacial variable. La primera parte de este capítulo investiga la posibilidad de utilizar el método SMS con discretización en pupila para diseñar sistemas ópticos adaptados. Utilizando la discretización en pupila el problema no está limitado por el número de puntos objeto necesarios para conseguir el mapeo deseado. Partiendo de un sistema de objetivo de microscopio ya existente, la parte asférica del sistema se ha rediseñado utilizando el método mencionado. Se optimizan y analizan los diversos conjuntos de superficies obtenidos para evaluar el nivel de complejidad de las superficies asféricas comparado con las superficies del diseño inicial. El mismo enfoque se aplica también a un diseño HMD, donde se diseñan cuatro superficies asféricas para cumplir con el requisito de adaptación (foveation). Aparte de la adaptación, este diseño tiene en cuenta las rotaciones del ojo, un enfoque comúnmente utilizado en el diseño de lentes oftálmicas. Combinando estos dos métodos, se diseña una lente HMD adaptada a la resolución del ojo humano. Adicionalmente, se presenta un análisis de tolerancias para este sistema, así como las medidas experimentales de la resolución del prototipo fabricado. El capítulo 5 investiga un sistema afocal de dos espejos anamórficos utilizando óptica de primer orden. Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden resultantes tienen una solución analítica, imponiendo la única condición de que los ejes x-y e x’-y’ son paralelos. Se presentan cuatro soluciones seleccionadas. Dos de ellas son semi-aplanáticas (cumpliendo la condición de aplanatismo sólo para la coordenada x), mientras que las otras dos son, de acuerdo a nuestro conocimiento, los primeros ejemplos de sistemas aplanáticos (full aplanat) que constan de dos espejos anamórficos. El problema presentado también puede considerarse como un caso límite de un problema SMS, como se comenta en el texto. Adicionalmente se han investigado geometrías de sistema alternativas. Sin embargo, en estos casos las ecuaciones de mapeo rayo-a-rayo no están necesariamente desacopladas, como en el primer caso discutido. Otra contribución al método SMS se encuentra en el capítulo 6. Se presenta un algoritmo para diseñar 3 superficies anamórficas plano-simétricas utilizando el método SMS3D. Se presenta también un ejemplo de un sistema de este tipo, que forma imagen estigmática para los campos de diseño. Por otro lado se demuestra que en el caso límite en el que los tres frentes de onda de diseño coinciden, el ejemplo presentado es efectivamente un sistema semiaplanático, donde se cumple el aplanatismo hasta el segundo orden en sólo una dirección. El capítulo 7 compara diferentes polinomios ortogonales como representaciones de las superficies anamórficas en el caso de sistemas ópticos con aperturas rectangulares. Los diseños SMS3D que están destinados a aplicaciones de formación de imagen necesitan ser optimizados para el campo entero. Para ello es necesario elegir una representación de las superficies apropiada. Estudios recientes demuestran que la mejor representación en el caso de los sistemas con aperturas circulares es la introducida por Forbes, y conocida como Q-polinomios. Sin embargo, las superficies anamórficas se usan a menudo en sistemas ópticos con aperturas no circulares (sistemas de alta relación de aspecto, sistemas de pantallas digitales). Se proporciona un análisis comparativo realizado en 2 sistemas de espejos. Se comparan 4 representaciones diferentes, incluyendo polinomios con diferentes áreas de ortogonalización (rectangulares y circulares) y diferentes métricas (ortogonalidad en el sag y en el gradiente). En los ejemplos considerados, los polinomios ortogonales dentro de un rectángulo convergen más rápidamente o hacia un mejor mínimo en comparación con los polinomios ortogonales dentro de un circulo. Esto es, lo más probable, debido a la pérdida de las buenas propiedades de la ortogonalidad cuando el área de ortogonalidad no coincide con la forma de la apertura de la superficie utilizada.
